INTÉGRALES NORMALES. SOQ 



couples de valeurs {z-t ,?/,)... (Zq, Uq). Elle se réduit donc à une 

 fonction rationnelle de )., R(a); or l'intégrale d'une fonction ra- 

 tionnelle 



devient infinie au moins pour une valeur de )., à moins que R()v) 

 ne soit identiquement nul. C'est ce qui arrive nécessairement ici, 

 et la somme W est constante ('). On a donc 



o{zr,iii)-^-^...-i-o{z^,Ug)-^ =o. 



S'il existe q intégrales abéliennes distinctes de première 

 espèce 



wi = I tfi{z,u)dz, W2 = j oz{z,u)dz, 



on aura de même 



dz, 



= I Oq{z, U)dz, 



Oi{Zi,ui)^ -^...-r-^i{Zq,U,j)'-^- =0, 

 ?2(-l,Wl) -^ -T-...-+-02(^y,Z/^) 



dzç^ 

 dX 



dZq 

 d\ 



Oq(Zi,Ui) 



dzi 

 'dï 



...^Oq{Zq,Uq) 



dz 



1 _ 



dl 



Gomme les points (3,, Ui), . . ., (zq, Uq) sont variables avec )., il 

 faudra donc que Ton ait 



01(^1, ?<l) ... 0[{Zq,Uq) 

 02(^1, Ml) ... 0^_{Zq,Uq) 



^q{Zi,U^) ... Oq{Zq,Uq) 



et puisque, par hypothèse, on peut choisir arbitrairement un des 

 groupes de q points, ce déterminant A devra être nul, quels que 

 soient les q points (^,, Ui), . . . , {Zq, Uq). 



Il est clair que ceci ne peut avoir lieu si les q fonctions cp(::, u) 



(') C'est un cas particulier du théorème d'Abel, qui sera étudié plus loin. 



