3lO CHAPITRE VII. 



sont linéairement distinctes. En eflet, considérons les mineurs 

 du premier ordre, obtenus en supprimant les éléments de la der- 

 nière colonne, par exemple ; si tous ces mineurs ne sont pas identi- 

 quement nuls, quels que soient les points (j:?< , «<), . . . , (^^_i, Uç-.\)j 

 prenons ces q ■ — i points de façon que l'un au moins de ces mi- 

 neurs soit différent de zéro. En développant A par rapport aux 

 éléments de la dernière colonne, on a 



Al , . . . A^ étant des constantes dont une au moins n'est pas nulle. 

 Cette relation ayant lieu quel que soit le point (zq, Uq)^ on voit 

 que les q fonctions 0\ (5, u)^ . . . 0^(5, u) ne sont pas linéairement 

 distinctes. Si tous les mineurs du premier ordre de A étaient iden- 

 tiquement nuls, on raisonnerait sur un de ces mineurs comme on 

 a raisonné sur A, et ainsi de suite. On arriverait, dans tous les 

 cas, à établir une relation linéaire à coefficients constants entre 

 q'{q'<C q) des fonctions cp, , cp^, . . . , 'f ^ ; ce qui est contraire à l'iiv- 

 pothèse. La proposition énoncée est donc établie. 



Gela posé, supposons qu'une courbe de genre /?, n'ayant que 

 des points doubles ordinaires, possède plus de p intégrales dis- 

 tinctes de première espèce. Le polynôme de degré m — 3 le plus 

 général s'ânnulant pour les coordonnées de ces points doubles 

 sera une fonction linéaire et homogène de/> + i coefficients arbi- 

 traires au moins. On pourra disposer de ces coefficients de façon 

 à faire passer la courbe Q(^, 11):= o par p points arbitraires pris 

 sur la courbe donnée F(^, u) = o. Les autres points d'intersec- 

 tion seront au nombre de 



m{7?i — 3 ) — 2d —p = p — 2. 



Par ces p — 2 points et les d points doubles de la courbe 

 donnée, on pourra faire passer un faisceau de courbes de degré 

 jn — 3, chacune des courbes du faisceau rencontrant la courbe 

 donnée en p points variables seulement, et cela de telle façon que 

 l'une des courbes du faisceau soit la courbe déterminée tout à 

 l'heure, qui passe par p points choisis arbitrairement. Il suit de 

 là que la courbe F(^, u) = o aurait moins de/> intégrales de pre- 

 mière espèce, et nous avons vu qu'elle en a au moins p. Cette 

 contradiction démontre le théorème. 



