INTÉGRALES NORMALES. 3ll 



14-0. Étant donnée une courbe algébrique Cm n'ayant que des 

 points doubles ordinaires, on appelle courbe adjointe toute 

 courbe passant par les points doubles de la première. Les inté- 

 grales de première espèce sont fournies, on vient de le voir, par 

 les courbes adjointes du degré m — 3 j ces courbes adjointes Qm-^ 

 forment un système p — i fois indéterminé et sont comprises dans 

 une équation de la forme 



(^{x,y) = l, Qi(:r, j) + l,Q,{x,y) +...-- lpQAT,y) = o, 



les y;» polynômes Q/(^,Jk) étant linéairement indépendants. Par 

 p — I points pris à volonté sur C, il passe une courbe adjointe de 

 degré m — 3, et une seule en général. Par/? — i -^ h points pris 

 au hasard sur C, (/i > o), il ne passe en général aucune courbe 

 adjointe de degré 7?z — 3. Enfin, toute courbe adjointe G/„_3 ren- 

 contre la courbe G en 2p — 2 points variables, en dehors des 

 points doubles. On a, en effet, d'après l'expression du nombre/?, 



m (m — 3 ) = 9.d -\- ?,/> — t.. 



Pour donner un exemple simple, prenons une courbe du qua- 

 trième ordre C4 ; les courbes adjointes sont ici des lignes droites 

 passant par les points doubles de C4. Si Cj n'a pas de point 

 double, toute ligne droite est une courbe adjointe ; il j a trois inté- 

 grales distinctes de première espèce. Si C4 a un point double, les 

 courbes adjointes sont les droites passant par ce point; il y a 

 deux intégrales distinctes de première espèce. Lorsque C4 a deux 

 points doubles, il y a une seule courbe adjointe d'ordre m — 3, 

 la droite qui joint ces deux points et, par suite, une seule inté- 

 grale de première espèce. Enfin, si C4 avait trois points dou- 

 bles, il n'y aurait plus de courbe adjointe du premier degré ni 

 d'intégrale de première espèce. 



141. Si la courbe donnée C/« présente des points singuliers 

 d'une nature quelconque, on appelle encore courbe adjointe toute 

 courbe représentée par une équation Q(:î, u) = o, telle que l'in- 

 tégrale abélienne 



(l(z,ii)dz 

 F'^{z,u) 



reste finie en tous les points singuliers de la courbe donnée; 





