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CHAPITRE VII. 



Q(^, u) est un polynôme adjoint. On suppose toujours, comme 

 plus haut, que tous ces points singuliers sont à distance finie. 

 Cette condition est indépendante du choix des axes, ou, d'une 

 façon plus générale, la définition précédente est projective. 

 Imaginons, en effet, qu'on effectue une transformation homogra- 

 phique 



az' -\- bu' -^ c 

 a" z' -^ b" u! -\- c" 



b' u' 



a z -\- b" u' -\- c" 



la courbe considérée Crn se change en une nouvelle courbe C^, 

 ayant pour équation 



(6) §{z', u') = {a"z'-i- b"u'-{- c")'« F 



\a z 



az'-^bu'-hc a' z' -h b' u' -\- c' 



' -+- b" u' H- c" ' a"z' H- b" u' -+- c" 



et de même la courbe adjointe Q(z, u) = o de degré u se change 

 en une nouvelle courbe de degré u. 



(7) ^(z',Li') = (a"z'-i-b'u'-hc")\>-q 



az' -{- bu' -h c a' z' -{- b' u' ^ c' 



a" z' -+■ b" u' -f- c" a!' z' + b" u' H- c' 



)=o. 



Soient encore (a, [3) un point multiple de C,„ et (a', p') le point 

 correspondant de C^. Tout revient à faire voir que, si l'inté- 

 grale (5) reste finie au point (a, P), il en est de même de l'in- 

 tégrale 



(8) n{z',u')dz ' 



au point (a', ^'). De la relation (6), on tire 



^'u>{z', u) = {a"z'+ b"u'-^ c"Y^ ( f: -^, + f;, — , ) , 



\ au au / 



ou, en tenant compte de la relation Y.dz + ¥\,du — o, 



dz§',,{z\u') = {a"z+ b"u'-^ c"yn ^/^/^,\ ¥',,dz'. 



jl) (z . u ) 



D'ailleurs, un calcul facile donne 



D(^', u) {a" z' ^ b" u' -{- c"y 



X 



abc 

 a' b' c' 

 a" b" c" 



{a" z^ b" u! -h 6'")^ 



