INTÉGRALES NORMALES. 3l3 



A désignant le déterminant de la substitution homographique. On 

 déduit de là 



\dz' I dz 



^;X- , u') {a"z-^ b"ii'-^c"yn-i ¥[,{z, uY 



il vient enfin 



^(z\u)dz' 



rQ(z,u)dz ^ ^ r 



J F^^, «) J (a"z'- 



b'u'+c'')V--"^+^^u'{^\u) 



Puisqii'au point (a', [ii') correspond un point (a, j3) à distance 

 finie, le facteur a" z' -\- b'' a' -^ c" n'est pas nul pour z' = a, u' ^ ^^' 

 et, par conséquent, l'intégrale (8) reste finie au point (a', ^3') si 

 l'intégrale (5) reste finie au point (a, [3) et inversement. 



142. On peut obtenir, par des opérations rationnelles, les rela- 

 tions auxquelles doivent satisfaire les coefficients d'un polynôme 

 adjoint Q(-^, a) ('). Ces relations sont linéaires, et leur nombre est 



. , ( m — \) (m — 2 ) 1 J J ' V A 



égal a ^ p pour une courbe de degré m et de genre 



p. Les courbes adjointes du degré m — 3 fournissent toujours les 

 intégrales de première espèce et forment un système {p — i) fois 

 indéterminé. Enfin, toute courbe adjointe de degré m — 3 ren- 

 contre la courbe C/„ en ip — 2 points distincts des points mul- 

 tiples. Nous allons montrer, en efl'et, que dans toute transfor- 

 mation hirationnelle, le système des points d'intersection d'une 

 courbe adjointe de degré m — 3 et de la courbe proposée se 

 change en un système analogue relatif à la seconde courbe. 

 Soit Q(^, u) une courbe adjointe de degré m — 3 relative à la 

 courbe Y(^z^u)=^q\ une transformation birationnelle change 

 l'intégrale de première espèce 



s% 



Q {-;lOdz 



(*) NôTHER, nationale Ausfuhrung der Operationen in der Théorie der alge- 

 braischen Functionen {Mathematische Annalen, t. XXIll.p.Sii; i884); Raffy, 

 Thèse de Doctorat (Paris, i883) ; Tikhomandritzky, Esquisse d'une méthode pour 

 déterminer le genre et les courbes adjointes d'une courbe algébrique donnée 

 au moyen des opérations rationnelles {Bulletin des Sciences mathématiques, 

 1898; Annales de l'École Normale, 1893). 



