INTÉGRALES NORMALES. 3l5 



Cette dernière hypothèse est inadmissible, si la transformation 

 est birationnelle. En effet, les développements de u' — u\^ z' — z'^ 

 commenceraient par un terme en [z — ^o)" ou <ie degré supérieur, 

 au voisinage du point (^o? '^o)j 



u'- a, = ^0(5 - ^0)' + 3i(^ - 5o)3 +. . . . 



Lorsque le point analytique (z, u) décrirait un petit cercle sur 

 la surface de Riemann, autour du point {zq, Uq)^ le point (^', u') 

 tournerait plusieurs fois autour de (z'^, u'^) et il n'y aurait pas 

 correspondance univoque entre les points des deux surfaces. 



On a donc nécessairement Q, (^„, w„) = o, ce qui prouve que 

 le système des points d'intersection de F = o avec son adjointe 

 Q = o correspond à un système analogue pour la courbe trans- 

 formée. Si la seconde courbe n'a que des points doubles ordinaires, 

 ce qu'on peut toujours supposer, la courbe adjointe la rencontre 

 en 2/? — 2 points distincts des points multiples; il en est donc de 

 même de la courbe adjointe à la première. 



Remarque. — Quand nous parlons du nombre des points 

 d'intersection distincts des points multiples d'une courbe et de 

 son adjointe, il est entendu que les coefficients arbitraires dont 

 dépend la courbe adjointe sont quelconques; pour certaines va- 

 leurs particulières de ces coefficients, ce nombre peut diminuer. 

 Par exemple, si une courbe C^^ n'a que des points doubles ordi- 

 naires, une courbe adjointe peut être tangente à Qm en certains 

 de ces points doubles. Mais ce cas doit être considéré comme un 

 cas limite, où quelques-uns des points d'intersection variables sont 

 venus se confondre avec les points doubles. 



143. Nous pouvons compléter dès maintenant le théorème établi 

 plus haut (n" 122) sur les transformations birationnelles. Soient 



(9) Y{z,u) = o 



une relation de genre />, et z>(z,u), 'l{z, u) deux fonctions ra- 

 tionnelles quelconques de z et de u. En éliminant z et u entre la 

 relation (9) et les suivantes 



(10) 



Z = o(z, 11)^ 



