3t6 chapitre vu. 



on en déduit entre Z et U une relation irréductible 



(II) *(Z,U) = o, 



de genre/?'. Si la transformation est réversible, on a />' = /?. S'il 

 n'en est pas ainsi, on a dans tous les cas p'^p. En effet, toute 

 intégrale de première espèce attachée à la courbe (i i) se change, 

 par la substitution (lo), en une intégrale de première espèce rela- 

 tive à la courbe (9). Par suite, la première courbe possède au 

 moins autant d'intégrales de première espèce distinctes que la 

 seconde, c'est-à-dire que le genre p est au moins égal à p' . Il est 

 facile de montrer, par un exemple, que p peut être supérieur kp' . 

 Prenons une courbe de genre zéro, dont les coordonnées s'ex- 

 priment par des fonctions rationnelles d'un paramètre t 



z = cp(o, u==^(^), 



et remplaçons dans ces formules t par une fonction rationnelle 

 quelconque R(^, u) des coordonnées d'un point d'une courbe de 

 genre />, {p > o). On voit bien que l'on passe de la courbe de 

 genre zéro à la courbe de genre/) par une transformation ration- 

 nelle, mais ici la transformation n'est plus réversible. 



Une autre conclusion à tirer de là, c'est qu'o/z peut toujours 

 passer, par une transformation simplement rationnelle , d'une 

 courbe de genre zéro à une courbe quelconque; cette transfor- 

 mation dépend cV une fonction rationnelle arbitraire des coor- 

 données d\in point de la seconde courbe. 



Le même raisonnement prouve qu'une courbe dont les coor- 

 données s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramètre 

 est nécessairement de genre zéro, car elle ne peut avoir d'intégrale 

 de première espèce (c/. n° 130). 



144. Nous allons montrer maintenant comment on peut obtenir 

 les intégrales de seconde et de troisième espèce. 



Pour former l'expression d'une intégrale de troisième espèce 

 avec les deux points singuliers logarithmiques («<, 6,), (^^o, ^2)5 

 nous supposerons que ces deux points sont deux points simples 

 de la courbe, ce qui ne restreint pas la généralité, car une trans- 

 formation birationnelle peut toujours ramener le cas général à 



