INTÉGRALES NORMALES- ^[7 



celui-là (§ 122). Admettons en outre que la droite qui joint ces 

 deux points rencontre la courbe en m points distincts. Les axes 

 de coordonnées étant choisis comme plus haut (n° 136), considé- 

 rons l'intégrale 



l. 



(=0, "o) 



où 



I 



est Téquation de la droite D qui joint les deux points singuliers 

 logarithmiques et Q„,_o un polynôme adjoint de degré m — i. 

 Cette intégrale ne peut devenir infinie qu'aux points de rencontre 

 de la courbe C avec la droite D ; si l'on assujettit la courbe adjointe 

 Qm-o (-, u)=-ok passer par les m — i points de rencontre autres 

 que \a,\b,) et («2,60), l'intégrale n'aura évidemment que ces 

 deux points singuliers. Dans le domaine du point {a,,b^), par 

 exemple, on aura 



(a^ + ^i*-hY)F'„(^,iO z — a, 



et le point (a,, b,) sera un point critique logarithmique de l'inté- 

 grale, qui pourra s'écrire, dans le domaine de ce point, 



P,(r — a,) étant régulière en ce point. De même, dans le do- 

 maine du point (ao, 60), on aura pour l'intégrale une expression 

 de la forme 



les résidus vérifiant nécessairement la relation 



En divisant par R,,,.,., cette intégrale, les coefficients des loga- 

 rithmes seront respectivement + 1 et — i . 



Il est facile de voir qu'on obtient ainsi l'intégrale de troisième 

 espèce la plus générale avec les deux points critiques («,, 6,), 

 («2, b.). Soient, en effet, I, et L deux intégrales de troisième 

 espèce avec ces deux points critiques ; on peut toujours trouver un 



