3l8 CHAPITRE VU. 



nombre A tel que la différence 



I2-AI1 



n'ait plus de point singulier ; A étant choisi de cette façon, L — AI, 

 est donc une intégrale de première espèce 



et, par suite, en supposant que !< est l'intégrale définie tout à 

 l'heure, on a 



/ 





c'est une intégrale de même forme que la première. 



Remarque. — Le raisonnement suppose que toute courbe 

 adjointe de degré m — 2, qui passe par les m — 2 points de ren- 

 contre de la courbe G avec la droite D, autres que les deux points 

 (a<, 64), (^2, 62), ne passe pas par un de ces 2 points. S'il en 

 était ainsi, toutes ces courbes adjointes se décomposeraient en la 

 droite D et une autre courbe adjointe de degré m — 3, car elles 

 rencontreraient D en plus de jn — 2 points. Le polynôme 

 Qm_2(^; ^^) le plus général satisfaisant aux conditions énoncées 

 serait de la forme (a^ ^ ^u -I- Y)Qm-3(^j u), Qm-3 étant un po- 

 lynôme adjoint de degré m — 3, et par conséquent dépendrait 

 de/> coefficients arbitraires. Or tout polynôme de degré m — 2 



contient — + i coeiiicients ; en écrivant que la courbe 



Qwi_2(^j if^) = o est adjointe et passe par [m — 2) points donnés, 



'^\^•.('^^ — 2) (m — i) , 1 . ^„ 



on établit '- — p -{- m — 2 relations entre ces coeffi- 

 cients. Il doit donc rester 



(m~Q.)(7n -h }) (ni — i)(m — \) 



~ '— ' -h I — ^ '-^ ' ^p — m-^i=p^i 



coefficients arbitraires. 



Si la droite D ne rencontre pas la courbe G en m points dis- 

 tincts , les conditions auxquelles doit satisfaire le polynôme 

 Q/w_2(^7 i^) sont plus compliquées; mais on peut tourner la diffi- 

 culté comme il suit. Prenons sur la courbe G un troisième point 



