INTÉGRALES NORMALES. Stg 



(^35 ^3) tel que les deux droites joignant ce point aux deux 

 points («1, bi), («21 ^2) rencontrent chacune G en m points dis- 

 tincts. L'intégrale cherchée est égale à la différence de deux inté- 

 grales de troisième espèce admettant respectivement pour points 

 critiques les points (a,, 6,), («3, 63) et («o, ^2)7 (<^37 ^3) ; cha- 

 cune d'elles peut être obtenue par la méthode indiquée. 



14o. Proposons-nous enfin de former une intégrale de seconde 

 espèce, avec un seul pôle au point («<, ^,), que nous suppose- 

 rons un point simple de la courbe. Soit 



(D) aj-f-3w-hY = o 



l'équation de la tangente en ce point; si cette tangente D ren- 

 contre la courbe G en ni — 2 points distincts du point (r/,, ^,), 

 l'intégrale 



h 



"-+-t)f;,(,^,^o' 



où Qw_2(^, u) == o est l'équation d'une courbe adjointe de degré 

 m — 2 passant par les m — 2 points d'intersection de G et de D 

 autres que (<7,, 6, ), ne peut devenir infinie qu'au point (a,, ^,). 

 Dans le domaine de ce point, on aura 



il n'y aura pas de terme en 7— — ? puisque la somme des résidus 

 doit être nulle. L'intégrale sera donc de la forme 



Pi (z — a,) étant régulière au point (cx,, 64). En divisant l'inté- 

 grale par — A, on ramènera le résidu de l'intégrale à la valeur 

 + I. On voit, d'après ce mode de formation, que l'intégrale de 

 seconde espèce avec un seul pôle peut être considérée comme 

 un cas limite d'une intégrale de troisième espèce dont les deux 

 points critiques seraient venus se confondre. 



On obtiendrait de la même façon des intégrales de seconde es- 

 pèce ayant un seul pôle d'ordre quelconque. 



