320 CHAPITRE VII. 



146. Intégrales normales. — Les intégrales normales des 

 trois espèces se définissent comme au Chapitre 111. Ainsi, toute 

 courbe du genre p possède p intégrales linéairement distinctes 

 de première espèce w^^ w^-, . . -, Wp. Avec ces p intégrales, on 

 peut former une intégrale de première espèce w^^^ dont toutes les 

 périodes relatives aux coupures ah soient nulles, sauf la période 

 relative à la coupure ayt, que nous prendrons égale à 1'k\^' — i. 

 En faisant successivement k = 1,2, ...,/?, on obtient ainsi les/? 

 intégrales normales de première espèce, w'^^\ w'''^\ ..., w^pK 

 Nous conserverons pour le Tableau des périodes les notations 

 de la page i52. 



Prenons maintenant une intégrale de seconde espèce r(^, w; S,Ti) 

 ayant un seul pôle du premier ordre en un point (^, Tj) à distance 

 finie, par lequel ne passe qu'un feuillet, avec un résidu égal à + 1 . 

 Soient A, , Ao, . . . , Kp les périodes de cette intégrale relatives aux 

 coupures ai , ao, . . . , «2^ ; la différence 



admet le même pôle (?, Tj) avec le même résidu et ses périodes 

 relatives aux coupures a^ sont toutes nulles. C'est une intégrale 

 normale de seconde espèce 



Plus généralement, nous désignerons par la notation 



une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle (^, 'r\) avec 

 la partie principale 



1.2 ... V 



et dont toutes les périodes relatives aux coupures ak sont nulles. 

 11 est clair que cette intégrale est complètement définie, à une 

 constante additive près; en effet, s'il existe deux intégrales possé- 

 dant les propriétés précédentes, leur différence est une intégrale 

 de première espèce dont tous les modules de périodicité relatifs 

 aux coupures ak sont nuls, c'est-à-dire une constante. 



