INTÉGRALES NORMALES. 321 



Pour trouver les périodes de ces intégrales relatives aux cou- 

 pures bhy il suffît de reprendre, en le généralisant, le calcul du 



n° 75. L'intégrale / w^^^ dL ' [z^ u ; c, r,), prise le long du contour 

 total de la surface T' dans le sens direct, est égale, d'une part, à 

 271 ^Ba-, en appelant B/f la période de 7j'^^\z, u] ?, r^) relative à la 

 coupure 6^, d'autre part au produit de 2T,i par la somme des ré- 

 sidus de 



,(A-) 



dz 



sur toute la surface T'. En un point de ramification (a, h) à dis- 

 tance finie, la dérivée — -rr peut bien devenir infinie, mais son 



développement ne renferme que des puissances de •;; d'un 



degré inférieur à l'unité. De même, en un point à l'infini, le déve- 

 loppement de cette dérivée commence par un terme en - d'un de- 

 gré supérieur à l'unité, puisque l'intégrale Z ''' doit rester finie 

 en ce point. H n'y a donc que le pôle (i,T,) qui puisse donner 

 un résidu différent de zéro. On a, dans le domaine de ce point, 



et, par suite, 



dz {^-\r^ 



Q(^— 0, 



V(^z — ^ ç) et Q(:j — \) étant des fonctions régulières au point 

 (^, Tj). D'autre part, en appelant 0/t(x;, u) la fonction rationnelle 

 dont l'intégration donne w^^\ de telle sorte que l'on ait 





f Ok{z,u)dz^ 



1 r . 7/1 



le développement de cette intégrale, dans le domaine du poin, 

 (5, Tj), est donné par la formule 



w'^f^^{z,u) = w^'^Hlr,)-^{z-l)of,{\,r,) 



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