322 CHAPITRE VII. 



^P(l, 'r\) désignant la valeur de la dérivée 



dyok{z, II) 



pour ^ = ?, u^= 'r\. Le résidu cherché a donc pour expression 

 — ^r(i, Ti). Par suite, les périodes de V intégrale T}^\z^u\ ^,7^) 

 relatives aux coupures h^^h^^ . . .^ bp sont respectivement 



En particulier, les périodes de l'intégrale Z(;:;, ^^ ; ç, -/j) ont pour 

 expressions 



On remarquera que toutes ces périodes sont des fonctions ration- 

 nelles du point analytique (^, ri). 



147. Les formules précédentes doivent subir des modifications 

 lorsque le pôle de l'intégrale de seconde espèce est un point de 

 ramification ou s'en va à l'infini. Soit d'abord (?, t,) un point de 

 ramification d'ordfe r — i à distance finie. Nous désignerons 

 encore par 



les intégrales de seconde espèce, qui admettent le seul pôle (i, r;) 

 avec les parties principales 



et dont toutes les périodes relatives aux coupures ah sont nulles. 

 Enfin, si le point (Ç, -/]) s'en va à l'infini, supposons, pour em- 

 brasser tous les cas, que ce point soit pour la surface de Rie- 

 mann un point de ramification d'ordre r — i (y — i pouvant être 

 nul). Nous désignerons par Z(^, z^; ?, ri), ..., Z^^^ (5, w; i, Tj), ... 

 les intégrales de seconde espèce qui admettent pour pôle le seul 

 point (;, Ti) avec les parties principales 



1 V-M 



Z'\ . . . , 1.2. . .V. S '■ . 



