324 CHAPITRE VII. 



P(^ — f) et Q(^ — ^) étant des fonctions régulières; enfin les 

 périodes relatives aux coupures ah sont nulles. Les périodes rela- 

 tives aux coupures hh se calculent comme au n^ 78. On trouve 

 ainsi que la période de l'intégrale 11^ 'îj (s, ?/), relative à la cou- 

 pure hh^ a pour valeur 



l'intégrale étant prise le long d'un chemin situé sur T' ne ren- 

 contrant aucune des coupures a^, hh^ Ch- H est à remarquer que 

 cette expression de la période reste la même, quelle que soit la 

 position des points critiques logarithmiques. 



De la définition de l'intégrale normale de troisième espèce ré- 

 sultent immédiatement quelques propriétés : 



1° On a identiquement, quels que soient les points (?, y,), 



(i',V),(?.ro,). 



(■3) nil5''+4;?''l+n||;'.!, = o- 



En efî'et, la somme précédente est une intégrale abélienne qui n'a 

 plus de points singuliers; c'est donc une intégrale de première 

 espèce. D'ailleurs, les périodes relatives aux coupures ai sont 

 toutes nulles; elle se réduit donc à une constante. Or, si l'on fait 

 coïncider le point (z, ii) avec le point (^o, Wo), origine des inté- 

 grales, le premier membre est évidemment nul. 



2° Si l'on fait dans la formule précédente Ç, = ^, r^ = Tj, il 

 reste 



formule qui résulte d'ailleurs immédiatement de la définition. 



3° L'intégrale normale de troisième espèce n[|'ÎJJ dépend de 

 àen^i paramètres (^, ri), (^','/i'). On peut, d'une infinité de ma- 

 nières, la mettre sous forme d'une difl^érence de deux fonctions, 

 dont la première dépend de (?, yi) seulement, la seconde de (ç', 'r\). 

 Prenons en effet un point analytique arbitraire, mais supposé fixe 

 (^^, '/!,). On a, d'après l'identité (i3), 



ce qui démontre la proposition énoncée. 



