INTÉGRALES NORMALES. 325 



4*^ La formule (i3) peut être généralisée. Prenons un nombre 

 quelconque de points analytiques (;,, r,,), (^2, '-02)7 • • •> (ç^j 'f\k) ; 

 on a 



149. En définitive, c'est toujours par la considération d'inté- 

 grales de la forme / Uc/V, où U et V sont deux intégrales abé- 



liennes, prises le long du contour total de ï', que nous avons 

 obtenu les périodes. Jusqu'ici nous avons toujours pris pour U 

 une intégrale de première espèce. Prenons maintenant pour U une 

 intégrale de troisième espèce avec les points critiques (;,*^j), 

 (^', t/), et pour V une autre intégrale de troisième espèce avec 

 les deux points critiques (a, 3), (a', '^'), différents des premiers. 



La fonction U -7- n'est pas uniforme sur la surface P; pour la 



rendre uniforme, nous tracerons sur T' une nouvelle coupure L 

 joignant les points (^, '/\), (?', r/). 



Fig. 88. 



c- - -^ ^ 



Sur la nouvelle surface T'' la fonction U -p est uniforme et on 



peut lui appliquer le théorème général de Cauchy. L'intégrale 



/ U<iV, prise le long des coupures «v, ^vj Cv, dans le sens direct, 



est toujours égale à 



p 



]^(Avb;-a,Bv), 



V— 1 



Av et Bv désignant les périodes de U aux coupures a^ et b.,, et 

 Av, Bv les périodes de V aux mêmes coupures. Reste à évaluer 



l'intégrale flJdY le long de la coupure L. En deux points infini- 

 ment voisins /?z, m 'sur les bords opposés de la coupure, les valeurs 

 de U diffèrent de 2 7zi 



Um — U,n'= 271 î; 



