INTÉGRALES NORMALES. Saj 



des coupures ^v: ^vj Cv, L. Il vient donc finalement 



f dv- d^\ => (AvB;-a;Bv). 



Les intégrales qui figurent dans le premier membre de cette 

 égalité sont supposées prises suivant des chemins ne se coupant 

 pas entre eux et ne franchissant aucune des coupures a^^ by^ c.,. 



' dU — / dV s'exprime tou- 



jours au moyen des périodes des deux intégrales U et Y. 



Supposons maintenant que U et V soient des intégrales nor- 

 males 



on a Av = A'v = o, et il reste 



(a. S) «^(S.r/i 



C'est la formule fondamentale que nous voulions établir; elle est 

 connue sous le nom àe formule de V échange du paramètre et 

 de V argument dans les intégrales de troisième espèce. 



Cette relation ajant lieu, quels que soient les points (?, Tj), 

 (^', r/), (a, ;B), (a', ^'), remplaçons-j (a, ,3) par le point (^o, Wo), 

 origine des intégrales, (a', P') par (^, z^); il vient 



(i5) 4';^'' {z, U) = n4;;^/r, r/) - n/;;;^ (^, rj, 



en remarquant que n^\J (^oj ^^o) = o. Si Ton ne tient pas compte 

 des chemins suivis par les variables, l'égalité précédente a seule- 

 ment lieu à des multiples près des périodes. 



150. Dans l'intégrale normale de troisième espèce 



considérons les points analytiques (;', r/), (:;, u^ comme donnés, 

 et le point analytique (?, r,) comme variable. Cette intégrale 

 devient une fonction du point analytique (;, r,), fonction dont 



