328 CHAPITRE VII. 



les propriétés résultent immédiatement de la formule précé- 

 dente (i5). On voit que, considérée comme fonction du point 

 analytique (Ç, t,), l'intégrale II est encore égale à une intégrale de 

 troisième espèce avec les points critiques logarithmiques (z, u), 

 (zqj Uq). Par suite, la dérivée 





est une fonction rationnelle du point analytique (?, r\), admet- 

 tant comme pôles les points de ramification et les points (z, u), 

 (zq, Uq), ces derniers étant des pôles du premier ordre avec des 

 résidus égaux à — i et à + i respectivement. Un point critique 

 d'ordre q — i ne peut être un pôle d'ordre supérieur à ^ — i . Les 

 dérivées successives 



d^^ ' d^^ 



sont de même des fonctions rationnelles du point analytique (ç, 't]) 

 admettant pour pôles les points (^o, ?^o), (^5 i^) et les points de 

 ramification. Il est clair d'ailleurs qu'elles ne dépendent pas 

 de (^', 7\'). Ces dérivées successives sont identiques, nous allons 

 le voir, aux intégrales de seconde espèce définies plus haut. 



Soient (a, b) un point à distance finie de la surface de Riemann, 

 distinct d'un point de ramification, et <Î>(Ç, '^) l'intégrale de 

 seconde espèce suivante, où (Ç, y\) désigne le point analytique 

 variable 



*(ç,'0= AiZ(^,Y);a,6)+A2Z'(^,Y];a,è)-[-... + Av+iZ'.v)(^,T;;rt,6), 



A,, Ao, . . ., Av+, étant des constantes quelconques. Cette inté- 

 grale admet un seul pôle, le point (a, b)^ et la partie principale 

 relative à ce pôle est 



Al A2 1.2...V . 



A, 



Considérons l'intéerrale 



J^ilr, 



du\''^ 



