INTÉGRALES NORMALES. 829 



étendue au contour total de la surface T' dans le sens direct. On 

 peut lui appliquer le théorème de Gauchj, puisque, nous venons 

 de le voir, H? '.^'^ , considérée comme une fonction du point analy- 

 tique (?, Ti), est identique à une intégrale normale de troisième 

 espèce. 



Les périodes des deux intégrales <E>(i, ti) et Ur.^ relatives aux 

 coupures «/ sont toutes nulles; par suite, l'intégrale précédente, 

 étendue au contour total de la surface ï', est égale à zéro. On en 

 conclut que la somme des résidus de la fonction 



sur toute la surface de Riemann est nulle. Ces résidus ne peuvent 

 provenir que des pôles (z, w), (gq, Wq)? (<^j b). Les résidus pro- 

 venant des deux premiers pôles sont respectivement 



— *(-,"), +*(^o, «o)- 

 Pour avoir le résidu relatif au pôle (a, b), écrivons les dévelop- 



pements de ^(;, r, ) et de -^ dans le domaine de ce point 





"^^r! _/cm 



d\ -\dl 





où ( -^ j désigne la valeur que prend la dérivée d'ordre i\ 

 > pour ç = a, r, =: b. Le résidu relatif au pôle («, 6) est 



77f) -^^-^ -;7ît) +----+-AV+1 hy^^ 



On a, par conséquent, en écrivant que la somme des résidus est 

 nulle, et remarquant que <Ï>(^oî "o) = o, 



— <i>(^, îO-^ Al ( -r-- ) -f-...-1-A 



\d\]a ^''^'\d^i'^^ 



