330 CHAPITRE VI 



Remplaçons <E>(^, u) par sa valeur-, il vient, en ordonnant par rap- 

 port aux coefficients A, . . . . , Av+i , 



A,[z(.„;«,.)-(-)J.A,[z-(.„;«..)-(-n)J.... 



+ Av+1 [Z(v)(^, u- a, b) - (^^) J = o. 



Cette égalité devant avoir lieu, quels que soient les coefficients 

 constants Ai , Ao, • . • , Av+i , on en conclut que l'on a 



Z(z,u:a,b)- (-^j = o, Z'(z, u: a, b)— (^ 



Remplaçons maintenant {a, b) par (^^r^) pour ne pas multiplier 

 les notations; les égalités précédentes deviennent 



• • • 5 



Ainsi, lorsque le point (?,ri) est un point ordinaire de la sur- 

 face de Riemann à distance finie, les intégrales normales de 

 seconde espèce Z{z, u; ?, ti), Z'(z, u; i, t]), . . ., Z(^^(^, i^^ i, yi), ... 

 qui admettent ce point pour pôle sont les dérivées successives 

 de V intégrale normale de troisième espèce \^^^ par rapport au 

 paramètre (S, ''O)- 



Par suite, toutes ces intégrales normales de seconde espèce sont 

 des fonctions rationnelles du point analytique (?,"/i), admettant 

 pour pôles le point (^, u) et les points de ramification, et l'on a 

 aussi 



Nous avons déjà obtenu, au Chapitre II, des résultats identiques, 

 sauf une petite différence de notation, pour les intégrales hjper- 

 elliptiques Ç (i;oi> n°* 4-3 et 46). 



