INTÉGRALES NORMALES. 33 1 



151. Lorsque le point (a, b) est un point de ramification à dis- 

 tance finie, les dérivées successives de l'intégrale normale n|'^' 

 par rapport au paramètre (i,v;) deviennent infinies en ce point. 

 De même, ces dérivées sont nulles en tous les points à l'infini 

 de la surface de Riemann; elles ne peuvent donc représenter les 

 intégrales normales de seconde espèce qui admettent pour pôle nn 

 point de ramification ou un point à l'infini de la surface de Rie- 

 mann. Il faut alors remplacer ces dérivées par les coefficients du 



développement de Hr^' suivant les puissances de (; — a)'' dans le 

 domaine d'un point de ramification (a, b) d'ordre /' — i à distance 

 finie, ou par les coefficients du développement suivant les puis- 

 sances de 7 dans le cas d'un point à l'infini (^ ). Ainsi, soient (a, b) 



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un point de ramification d'ordre r — i à distance finie et 



1 y + i 



le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le do- 

 maine de ce point. Les coefficients II^ , IIo, . . . , llv+i , • . . sont pré- 

 cisément, à des facteurs numériques près, les intégrales normales 

 de seconde espèce définies plus haut, qui admettent pour pôle 

 le point de ramification (a, b). Ainsi on a 



Z(z, u; a, b)= Ui, Z'{z, ii: a, b)= 2U2, 



et, en général, 



Z''^^(z, u\ a,b)=\.i. . .{') + 1)11^+1. 



Enfin, si le point (a, b) est un point de ramification d'ordre 

 /• — là l'infini (/• — i pouvant être nul), soit 



n|f=nE--n.(l)Vn.(')'--.._n...Q)"^... 



le développement de l'intégrale de troisième espèce dans le do- 

 maine de ce point. On démontrera, comme plus haut, que l'on a 



Z(z, i«;3c)=ni, ..., Z(v)(z, if ; ao) = i.2.. .(v -M)nv+i. 



(1) E. GouRSAT, Sur la théorie des intégrales abéliennes {Comptes 

 rendus, t. XGVII, p. 1281). 



