332 CHAPITRE VII. 



Ces formules sont encore à rapprocher des formules obtenues au 

 nM3. 



152. Quelques considérations de passage à la limite permet- 

 tent de prévoir et d'expliquer la plupart des résultats qui précè- 

 dent. Considérons d'abord deux intégrales normales de troisième 

 espèce 



ayant un point critique commun (?', t/) et deux points critiques 

 infiniment voisins (?, tj) et (^ -j- A, t^ + A"), que nous supposons à 

 distance finie et distincts des points de ramification. La diffé- 

 rence 







est encore une intégrale abélienne avec deux points critiques lo- 

 garithmiques infiniment rapprochés (?, Ti) et (^ + A, '/] + A). En 

 tout autre point («, b) de la surface, cette intégrale est régulière. 

 Faisons tendre h vers zéro; la différence 



a pour limite -^^' de sorte que, à la limite, l'intégrale en ques- 

 tion admet le seul pôle (ç,7j) avec la partie principale z' D'ail- 



Z Ç 



leurs, toutes les périodes de to relatives aux coupures a^ sont 

 nulles; cette intégrale w a donc pour limite l'intégrale normale 

 de seconde espèce Z(5, u; ?, t)), c'est-à-dire que l'on a 



/l=0 



ou encore 



Z{z,u;^,ri) = 



dn 





d^ 



Les périodes de Z relatives aux coupures bh se déduisent de la 

 même façon des périodes de H. Ainsi la période de l'intégrale w 



