336 CHAPITRE VII. 



ce point franchit les coupures ai et hi. Nous avons vu plus haut 

 (n° 144) comment on pouvait former une intégrale de troisième 

 espèce ayant les deux points critiques logarithmiques (^, ri), 

 (^', 7i') ; cette intégrale est de la forme 



S(^, u\ Ç, V)) étant une fonction rationnelle de (s, ii) et aussi de 

 (^, Tj). Pour passer à l'intégrale normale de troisième espèce, il 

 faut ajoutera cette intégrale certaines intégrales de première es- 

 pèce. Soit tJL)i(^, 'r\) la période de l'intégrale précédente à la cou- 

 pure <2i, période qui est égale à l'intégrale / S (5, u\ ç, Tj) dz, 

 prise le long de la coupure {ht), 



Wi(^,>î)= / S(z, u\\,r,)dz. 



J 



L'intégrale normale de troisième espèce est égale à 



en représentant par / cpi(^, 11) dz l'intégrale normale de première 



espèce w^^\ 

 La période 



considérée comme fonction du paramètre {^^y\)^ est représentée 

 par une intégrale définie admettant la coupure {ht)- Lorsque le 

 point variable (Ç, 't\) ne franchit pas cette coupure, Ci)/(Ç, 'r\) reste 

 une fonction uniforme du point (^, Tj) et, en reprenant le raison- 

 nement de plus haut, on voit qu'en deux points infiniment voisins 

 de part et d'autre de la coupure ht les deux valeurs de w/(^, r^) 

 diff'èrent de 27c/. Gela posé, reprenons la fonction 



/"'"T I "^ 1 



