INTÉGRALES NORMALES. 337 



si le point (ç, r,) décrit un chemin fermé quelconque ne traver- 

 sant aucune coupure bi, ni la ligne L, chaque élément de l'inté- 

 grale, et, par suite, l'intégrale elle-même reviennent à leurs va- 

 leurs initiales. Au contraire, en deux points infiniment voisins de 

 part et d'autre de la coupure 6/, les éléments correspondants 

 des deux intégrales diffèrent de '^i{z^ u). Les intégrales elles- 

 mêmes diffèrent de 





En résumé, l'intégrale normale de troisième espèce, considérée 

 comme fonction du paramètre (^, r, ), présente les caractères sui- 

 vants : 



1° Elle reste finie en tout point de la surface de Riemann, sauf 

 aux points (^, «), (^o, ^^o) qu'elle admet pour points critiques 

 logarithmiques; 



2^ Toutes les périodes relatives aux coupures ai sont nulles, 

 et la période relative à la coupure bi est égale à 



i 



11} 



Ces propriétés caractérisent l'intégrale normale de troisième 

 espèce, avec les points critiques logarithmiques (;, «), (^o? ^^o)- 

 On a donc 



n|!j'(^, zO-n^:;;'"(ç,^)-+-C. 



Pour déterminer la constante C, remarquons que, lorsque le 

 point mobile (;, y;) vient en (;', r/), le premier membre est nul. 

 W reste donc l'égalité 



qui est identique à la formule (i5). 



lo4. Avant de revenir aux intégrales abéliennes les plus géné- 

 rales, il nous faut expliquer le sens d'un mot qui sera souvent 

 employé. Étant donné /' intégrales ^,, vo, . . ., 'Cr^ n'ayant aucun 

 point critique logarithmique, et, par suite, composées uniquement 



A. ET G. 2^ 



