338 CHAPITRE VII. 



d'intégrales de première et de seconde espèce, on dira que ces 

 intégrales sont algébriquement distinctes s'il n'existe aucune 

 combinaison linéaire à coefficients constants, telle que 



W = Ai^,-4-A2r2-f-...-f-A,^,, 



qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de u (sauf, bien 

 entendu, lorsque tous les coefficients A^- sont nuls). 



Si l'on a une équation algébrique de genre /?, l'intégrale pré- 

 cédente W admet, en général, ip périodes cycliques; pour que 

 W se réduise à une fonction rationnelle de z et de z/, il faut et il 

 suffît que les 2/> périodes soient nulles, car cette intégrale est 

 alors une fonction uniforme du point analytique [z^ u)^ n'admet- 

 tant que des pôles sur toute la surface de Riemann. En écrivant 

 ces conditions, on a ip équations linéaires et homogènes entre 

 les /• coefficients A^ A2, . . . , A;^; ces équations admettent certai- 

 nement un système de solutions, non toutes nulles, dès que;- est 

 supérieur à 'ip. Par suite, il ne peut y avoir plus de 'ip intégrales 

 algébriquement distinctes de première et de seconde espèce. 



Nous dirons que 9.p intégrales algébriquement distinctes Çi, 

 42^ •• V» ^2p forment un système fondamental. Pour qu'il en soit 

 ainsi, il faut et il suffit que le déterminant d'ordre ip formé par 

 les (2/?)- périodes de ces ip intégrales soit diff'érent de zéro; on 

 aurait, en effet, pour déterminer les coefficients A/ tels que toutes 

 les périodes de l'intégrale A, Ç, +. . .h- Ao^^sa;» soient nulles, 

 'ip équations linéaires et homogènes dont le déterminant n'est pas 

 nul. Toute intégrale ahélienne v^ n^ ayant aucun point cri- 

 tique logarithmique, est égale à une combinaison linéaire à 

 coefficients constants des op intégrales Ç, , . .., 'C^^p-, formant 

 un système fondamental, augmentée d^ une fonction ration- 

 nelle de z et de u. Il suffit, pour le voir, de remarquer qu'en éga- 

 lant à zéro les ip périodes de l'intégrale 



p — Ai^i— A2!^2 — ••• — A,^, ^2/> 



on a 2/? équations linéaires et non homogènes, dont le détermi- 

 nant n'est pas nul. On en déduit donc pour les coefficients A,, 

 Ao, ..., k^p un système de valeurs finies; ces coefficients étant 

 ainsi déterminés, la différence (^ — Ai Ç, — . . . — k<ipX^<ip n'a plus 



