INTÉGRALES NORMALES. SBq 



de périodes, et se réduit, par conséquent, à une fonction ration- 

 nelle de z et de u. 



En particulier, toutes les intégrales abéllennes de première 

 et de deuxième espèce attachées à une courbe algébrique de 

 genre p se réduisent à ip intégrales distinctes. 



Pour former un système fondamental, prenons pour J^j ,^0? • • •' ^/> 



les/> intégrales normales de première espèce v, = (p^'^, !Co=(v'-^, 



;^^r=r w'^P\ et pour î^_^, , . . ., ^2/j? P intégrales normales de seconde 

 espèce, T{z, u; ai^ b^), ..., Z{z, u; ap^ bp)^ admettant pour 

 pôles/? points ordinaires à distance finie, tels que le déterminant 



A = 



?/>(.«i,^i) ••• ^p{<^p,bp) 



ne soit pas nul (n" 139). Ces 2/? intégrales forment bi en un système 

 fondamental. En effet, si l'on désigne par a,, 7.0, .... a^ les p pé- 

 riodes d'une intégrale r relatives aux coupures «,, a-,, •.., <r/^, 

 la différence 



v' = (' —. ( ai (ï^^" -h . . , -h ay, w'^P^ ) 



a toutes ses périodes, relatives aux coupures a^, nulles. En écri- 

 vant que l'intégrale 



<-'— Ài Zi z. u : <7i. 61) — . . . — Ip Z(z, a: ap^ bp) 



a également toutes ses périodes relatives aux coupures b^ nulles, 

 les coefficients a, sont déterminés par/? équations linéaires dont 

 le déterminant est précisément A. 



11 est clair qu'on peut remplacer ce système de ip intégrales par 

 un système composé de/? intégrales distinctes de première espèce 

 (T'i, w.2^ . . ., (v^ et de /? intégrales de seconde espèce admettant 

 les pôles du premier ordre («,, ^,), . . . , («r/^, bp), caries intégrales 

 normales sont des combinaisons linéaires de celles-là, et inverse- 

 ment. On peut aussi supposer que quelques-uns des pôles 



(«1,61), .... (ap,bp) 



sont venus se confondre; par exemple, si ces p points sont tous 



