340 CHAPITRE VII. 



confondus en un point (a, b)^ on prendra, pour former un sys- 

 tème fondamental, avec les/? Intégrales de première espèce, les 

 p intégrales normales de seconde espèce 



Z{z,u\a,b), T{z,u\a,h), .... Vp-^H_z, u: a,b). 

 Ce système est fondamental pourvu que le déterminant 



o^{a,b) o'.;^{a,b) 

 '?p(a,b) o'f,{a,b) 



AP-I) 



{a,b) 





ne soit pas nul. Ce déterminant ne peut être identiquement nul 

 pour tout point analytiqne (a,b); en effet, les éléments de la 

 ^•ième colonne sont les dérivées d'ordre i des éléments correspon- 

 dants de la première colonne par rapport à la variable a. D'après 

 un théorème bien connu, pour que A, soit identiquement nul, il 

 faut et il suffit qu'il existe entre les éléments de la première co- 

 lonne une relation linéaire et homogène à coefficients constants, 

 l'un au moins de ces coefficients étant différent de zéro, 



Cl coi(a, 6)+ G2 02(«, b) 



Cp(Oj>(ih ^) 



ceci est impossible, puisque 'fi(^, «), ..., '^p{^^ ^Ô ^^^^ ^^^ ^^~ 

 rivées par rapport à z des/? intégrales normales de première espèce. 



15o. Soit 



K{z, u) 



.-o,"u) 



dz 



une intégrale abélienne quelconque; les points critiques loga- 

 rithmiques de cette intégrale sont les points de la surface oii le 

 résidu de R(^, u) n'est pas nul, et, en général, ses points singuliers 

 proviennent des pôles de R (s, u) et des points à l'infini. En procédant 

 comme au n" 44, on peut exprimer \ par une somme d'intégrales de 

 première, de deuxième et de troisième espèce. Soient (a, , [3,), ..., 

 (a^, ^q) les q points critiques logarithmiques de cette intégrale, 

 R,, R2, ..., R(7 les résidus correspondants de R(s,;<), dont la 

 .somme R, -|- Ro -+-...+ Ry est nulle ; la différence 



I - Ri 11^" rÇ'-Ra II 





R,_ili;n"^^ 



'^q-y pq 

 T ^1 



