INTÉGRVLES NORMALES. 34 I 



n'admet plus de point critique logarithmique. Elle peut avoir des 

 pôles en nombre quelconque. Soient (a, h) un de ces pôles et 



z — a'^{z — af {z — ay 



la partie principale de J dans le domaine du point (<7, b). 

 L'expression 



H = i —Slx^Ziz. u: a, b) 



où le signe V est étendu à tous les pôles de J, est une intégrale 



abélienne régulière en tous les points de la surface de Riemann, 

 c'est-à-dire une intégrale de première espèce a, tv^^'^ + •.•-[- A;,<v^^'. 

 On en déduit pour l'intégrale I la valeur suivante 



('7) ( 



= / R(z, u)dz 



+ y [Ai Z{z, u;a, b)-^. . .-- ^^" : Z^v-i^.^, u: a, b)] 



Les coefficients Ra, A,, ..., Ay sont connus immédiatement si 

 Ton connaît les résidus de R(^, «), et les parties principales au 

 voisinage des pôles de l'intégrale; ces coefficients dépendent donc 

 algébriquement des coefficients de la fraction rationnelle R(^, u). 

 Il n'est pas de même de )., , • • -, '^^p\ '^-h, par exemple, est égal à la 

 période de l'intégrale I à la coupure a^j divisée par 2t.i. 



On pourrait encore arriver à la formule de décomposition (17) 

 de la façon suivante. Sur la surface T', traçons un contour fermé G 

 renfermant à l'intérieur tous les points critiques logarithmiques 

 de l'intégrale 5 soit T'' la surface limitée par G et par les bords des 

 coupures «v? ^v? <^v La fonction 



T(.^rJ=IU^rJ 



dml' 



dl 



