34^ CHAPITRE VII. 



est une foDction uniforme du point analytique (?, r.) sur la sur- 

 face T". En appliquant le théorème de Cauchj à l'intégrale 



r 



prise le long du contour total de T'^ dans le sens direct, on a à 

 calculer, d'une part, cette intégrale prise le long du contour de 

 C et le long des coupures, d'autre part les résidus de T(ç, ti). Si 

 l'on réduit le contour C à une suite de petits cercles décrits autour 

 des points critiques, réunis l'un à l'autre par des fentes de largeur 

 infiniment petite, le calcul ne présente aucune difficulté, et l'on 

 retrouve ainsi la formule (17). 



156. Toutes les intégrales de première et de seconde espèce se 

 ramenant à 2/? intégrales distinctes, on peut ne laisser dans le se- 

 cond membre de la formule (17) que ces ip intégrales. Imaginons, 

 pour fixer les idées, que l'on ait choisi, pour former un système 

 fondamental, avec les/? intégrales de première espèce, p inté- 

 grales de seconde espèce, admettant respectivement pour pôles 

 du premier ordre les /> points {as^b^)^ ..., {ap^bp). Soient w^, 

 (Vo, . . ., Wp^ Ç(s, z^; «I, 6i ),..., Ç(^, u\ a p^ bp) ces ip intégrales. 

 Si l'on remplace chaque intégrale normale Z^"^^ par son expression 

 au moyen des ip intégrales précédentes et d'une fonction ration- 

 nelle de z et de u^ la formule (17) peut s'écrire 





-4- Bi (Pj-H B2 (^2-^-- • •-+- B/, (Py, ■ 

 ou encore 



*^{z, u) étant une fonction rationnelle de z et de u^ I, et lo dé- 

 signant deux intégrales abéliennes dont la première n'admet que 

 des points critiques logarithmiques, tandis que la seconde lo 

 n'admet que des pôles du premier ordre qui sont pris parmi les 

 p points (a,, ^,), ..., {ap, bp). 



Ces deux intégrales !< et L ne sont pas complètement définies, 



