INTÉGRALES NORMALES. 343 



quand on connaît la fonction rationnelle T{{z, ii)^ car on peut 

 ajouter à l'une d'elles une intégrale quelconque de première es- 

 pèce, à condition de retrancher la même intégrale de l'autre. Mais, 

 si les points (<7| , ^i ), • . ., {ap, bp) ont été choisis une fois pour 

 toutes, la partie algébrique de l'intégrale^ ^(^> u)i est complè- 

 tement déterminée, à une constante additive près. 



Supposons, en effet, qu'en opérant d'une autre façon, on ait 

 mis I sous la forme 



(19) \ = ^'{z,u) — l\-h\\, 



\\ et I!, jouissant des mêmes propriétés que I| et lo ; on en déduit, 

 en retranchant membre à membre, 



^{Z, U) — «ï»'(-3, U) — \\ — II— i;— lo. 



Il est clair que les points critiques logarithmiques disparaissent 

 dans le second membre, et la fonction rationnelle ^ — 4>' ne peut 

 avoir pour pôles que quelques-uns des points (<7,, bC)-, ...,(a^, bp)^ 

 ces pôles étant du premier ordre. Soit 



H, 



la partie principale de 4> — ^'dans le domaine du point {ai, bi)\ 

 la différence 



* — *' — HiZ(^, M, rt,,èi) — ...— ^pZ{z, u, a,„bp) 



est régulière en tous les points de la surface de Riemann, et ses 

 périodes relatives aux coupures a/i sont toutes nulles. C'est donc 

 une constante, et ses périodes relatives aux coupures b/i doivent 

 être nulles également. En écrivant qu'il en est ainsi, on établit 

 entre les coefficients H,, ..., H^ un système de p équations 

 linéaires et homogènes dont le déterminant A est essentiellement 

 différent de zéro (n° 139). On a donc H, = Ho == . . . = H^ = o, 

 et les deux fonctions <ï> et O' ne diffèrent que par une constante, 

 qu'il est évidemment permis de négliger. 



Il paraît probable, d'après cela, que cette partie algébrique 

 <I>(c, u) peut être obtenue par des opérations rationnelles, c'est- 

 à-dire des additions, multiplications et divisions de polynômes. 11 



