344 CHAPITRE VII. 



ne semble pas que ron possède jusqu'ici de méthode générale 

 pour effectuer ce calcul. La question a été résolue par M. Hermite 

 dans le cas particulier des intégrales hjperelliptiques (^); nous 

 rappellerons succinctement sa méthode. 



Etant donnée une relation de genre/?, de la forme 



où les quantités // sont toutes différentes, toute intégrale 



j K{z,u)dz, 



où R(2;, u) est une fonction rationnelle de z et de w, se ramène, 

 par des calculs élémentaires, à des intégrales de l'une des formes 

 suivantes 



rv_dz r z^ndz rx.dz 



J (i'^ ' J ~^' J x^ir 



P, X,, X, Q étant des polynômes, dont les deux derniers sont pre- 

 miers avec leurs dérivées. La première intégrale est égale à une 

 fonction rationnelle de z, que l'on peut calculer sans avoir à ré- 

 soudre aucune équation de degré supérieur au premier, et à une 



~^, OÙ l^ est de degré inférieur à celui de Q, qui 



est égale à une somme de logarithmes. De même, les intégrales 

 r z'n dz rx^dz 

 J ~~[i~' J ~x^ ^^ ramènent, par des calculs élémentaires, à 



une partie rationnelle en z et w, à des intégrales de la forme 



J \u 



où Y est de degré inférieur à celui de X, et où X est premier 

 avec le polynôme F(^) (intégrales qui n'admettent que des points 

 critiques logarithmiques) et enfin aux intégrales T——, où m n 



une des valeurs o, i, 2, . . . , 2/?. Pour /?2 = o, i, 2, y» — i , 



on a les p intégrales de première espèce fr<, W2, - . ., (ï>. Pour 



(*) Bulletin des Sciences mathématiques, 2= série, t. VII, p. 36. Cours pro- 

 fessé à la Faculté des Sciences, rédigé par Aiidoyer. 



