INTÉGRALES NORMALES. 345 



m =/>, on a une intégrale de troisième espèce avec deux points 

 critiques logarithmiques à l'infini. Enfin, si 



on a une intégrale qui admet encore, en général, deux points cri- 

 tiques logarithmiques à l'infini; en choisissant convenablement 

 le coefficient À^, la différence 



-j 



ZP-^^l -K,ZP ^. 



admet les deux points à l'infini pour pôles d'ordre q. En défini- 

 tive, l'intégrale proposée est décomposée en une partie ration- 

 nelle en z et w, en une somme d'intégrales de troisième espèce, 

 et des ip intégrales ir, , (ï^oj • • • , <^>j ïo • • • ? '^p- 



Ces ip intégrales forment bien un système fondamental. En 

 d'autres termes, il n'existe aucune combinaison linéaire à coeffi- 

 cients constants 



Al «•!-+-. . .— .S.piVp — B,^i-f-. . .-^ B/j^/,, 



qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de a (sauf pour 

 A/ = B/ = o). En effet, cette fonction rationnelle n'aurait pour 

 pôles que les points à l'infini, d'ordre p au plus, et, d'après les 

 expressions des intégrales ^y, les coefficients des parties princi- 

 pales dans le domaine de chacun de ces pôles seraient égaux et de 

 signes contraires; il en résulte (n'' 27) que cette fonction ration- 

 nelle serait de la forme uÇl{z)^ Q(^) étant une constante ou un 

 polynôme. Or les points à l'infini sont des pôles d'ordre/? -h i 

 au moins, pour une telle expression. 



157. Nous allons montrer, dans ce paragraphe, comment on 

 peut trouver la partie algébrique ^{z^ u) d'une intégrale et les 

 coefficients de la formule (i8), quand on connaît les points singu- 

 liers de l'intégrale avec les parties principales du développement 

 dans le domaine de chacun d'eux. Soient 



t'^i = Ai(-, u) dz, iv.2=f^2{z, u)dz, . . ., u'p =j^p{z, u) dz 



