INTÉGRALES NORMALES. 347 



est une fonction rationnelle S{z, ?/) dont tous les résidus sont 

 nuls. L'intégrale J peut donc s'exprimer par la somme d'une fonc- 

 tion rationnelle de z- et de u et d'une combinaison linéaire à coeffi- 

 cients constants des 2/? intégrales «,, ..., Wp^ ^,, ..., Ç^, 



(20) J = ^(Z, II) -h )vi^i — . . .-f- lplp-\- [Jli Wi-T-. . .-î- {J-pWp. 



Cherchons d'abord à déterminer les coefficients À,, ..., \p^ 

 U|, ..., [kp. Pour cela, multiplions les deux membres de l'équa- 

 tion (?.o) par ^/(^, u)j et égalons la somme des résidus des deux 

 membres de l'égalité obtenue sur toute la surface de Riemann. 

 Les résidus du produit J(!>/(^, u) s'obtiennent sans difficulté, con- 

 naissant les pôles de l'intégrale J et les parties principales dans 

 le domaine de chacun de ces pôles. En effet, en tout point où 

 l'intégrale J est régulière, le résidu de J'li[z, u) est nul; car, 

 '^i{^i u) étant la dérivée d'une intégrale de première espèce, son 

 développement dans le domaine d'un point à l'infini commence 



par un terme en - d un degré supérieur a lunite et, en un point 



de ramification (a, b) à distance finie, 'i>/(^, u) ne contient que 



des puissances de — d'un desrré inférieur à l'unité. Suivant une 



notation employée par Cauchj, désignons par C[J'|/(:?, u)] la 

 somme de ces résidus. La somme des résidus de la fonction ration- 

 nelle ^{z, u)'bi(z, u) est nulle. Les résidus de la fonction 

 ^fcài{z^ u) se réduisent au seul terme '}/(6t^, b^) provenant du 

 pôle («A, bfi) de Zk- Enfin le produit w/i'li{Zj u) n'admet aucun 

 résidu. Il reste donc les p relations 



/,,x \ li'^iiai, bi) ^. . .-^Ap'l^iiap, bp) = C[J'hi{z,u)] 



^^ I (/=!, 9., ...,/>), 



qui déterminent les p coefficients A, , . . . , a^, car le déterminant 

 de ces équations linéaires est précisément 0. 



Pour obtenir les constantes a,, ..., ;jl^, multiplions de même 

 les deux membres de la relation (20) par '//(:?, u), et égalons la 

 somme des résidus des deux produits. La somme des résidus de 

 saX^(^, u) est égale k yi{a/(, bh) — '/ji^^n ^i)] celle des résidus 

 de iv/iyi{z^ u) est égale à — '^a(«/, bi); enfin la somme des résidus 



