3i8 CHAPITRE Vil. 



de la fonction rationnelle ^{z-, u)yj{^-, t^) est nulle. Il vient donc 



^'"^^ ( =-~^[iyj{^,iO]-^hdlk{anbi)-yj{a,,b,.)]; 



(f= I, 2, ... /?); 



ces équations déterminent ^i, ji-o, . . ., '^p^ car le déterminant est 

 encore égal à ù. 



En définitive, tout revient à calculer les sommes des résidus 

 des produits JtJ;/(i:, u) et !'/_/(:?, u); les résidus de J^i(^, u) pro- 

 viennent uniquement, on l'a déjà remarqué, des pôles de l'inté- 

 grale J. Soit (<2, b) un de ces pôles que nous supposons, pour 

 fixer les idées, à distance finie et distinct des points de ramifica- 

 tion ; écrivons le développement de la fraction rationnelle S(^, u) 

 dans le domaine de ce point 



On en déduit 



J = fs{z, u)dz =:C~ 



A. 



--kAo(.-«) 



Soit 



^i{z, u)=z ^i(a, b)-{-{z — a)Yi{a, b) -+- . . . 

 ( z a )m—2 



+ - ^ r N Vr-'^ {a,b)-^...: 



le résidu du produit J'|/(;, ii) au point (a, h') est donc 



-. A_,.},,.(«, i) - ^ 4,;(«, i) -. . .- ~-^^^^ >i'i"*-"(«, *)• 



Nous voyons que ce résidu se calcule au moyen des seuls coef- 

 ficients des développements de S(^, u) et de ^/(^, u) dans le do- 

 maine du point (a, h\ 11 en est de même, on le vérifie facilement, 

 quelle que soit la position du point (<2, ^). Les résidus du produit 

 Jyi(^, ?/) proviennent des pôles de J et du point (a/, ht) qui est 

 un pôle du second ordre de ^^ (^, w) ; le résidu relatif à ce point est 



