INTÉGRALES NORMALES. 349 



égal à — S(rt/, bi)^ car, dans le domaine de ce point, on a 



S{z, u) = S(a/, bi) -f- (> — <7/)S'(rt/, bi)-^.. ., 

 J = j Si z. u) dz = C -{- ( z — ai) S(ai, 6/) -f- . . . , 



yjiz, u) =— — -• -f- P( j — ai). 



V^ — "i )~ 



Les résidus provenant des pôles de J se calculent comme tout 

 à l'heure. En définitive, pour calculer les coefficients X,, . . ., X^, 

 ;jL,, jjLo, . . ., ui;, de la for m a le (20), il suffit de connaître : i"* les 

 coefficientsdes développements des fonctions rationnelles S (z, u), 

 'li{z^ u), '/i{Zj u) dans le domaine de chacun des pôles de J; 

 2*^ les i^aleurs de la fonction rationnelle S(z, u) aux p points 

 analytiques (<7, , ^i ), . . ., {ap^ bp). 



Reste à déterminer la fonction rationnelle ^{z^ u). Nous con- 

 naissons les pôles de cette fonction qui sont les pôles de J et les 

 points (rt/, bi). Dans le voisinage d'un pôle de J, la partie princi- 

 pale est la même que celle de J; au point (^r/, 6/), la partie princi- 

 pale est — Nous sommes donc amenés au problème sui- 



^ z — at ^ 



vant : Déterminer une fonction rationnelle ^{z^ «), connaissant 

 les pôles et les parties principales dans le domaine de chacun de 

 ces pôles. Cette question sera discutée au Chapitre suivant. 



I08. Comme application de ce qui précède, cherchons les con- 

 ditions pour qu'une intégrale abélienne 



/ 



R ( -3 , u) dz 



"0) 



soit une fonction algébrique de z. Il faut évidemment que cette 

 intégrale n'admette ni périodes, ni points critiques logarithmiques. 

 S'il en est ainsi, elle est une fonction uniforme du point analy- 

 tique (^, u)^ n'ayant, sur toute la surface de Riemann, que des 

 pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle 

 de z et de u. On déduit de là le théorème suivant, dû à Abel : Si 



une intégrale /R(^, u) dz, oii R(:?, u) est une fonction ration- 

 nelle de deux variables z et u liées par la relation algébrique 



