3;>o CHAPITRE vii. 



F(^, u) ■= o, est elle-même une fonction algébrique de z, elle 

 est égale à une fonction rationnelle de z et de u. 



Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que tous les résidus de 

 la fonction rationnelle R(^, ?/) soient nuls. Cette condition étant 

 supposée satisfaite, on a R(5, ?/)=:= S (i;, w), I = J; il faut, en 

 outre, que tous les coefficients A,, . . ., X^, p.,, , . ., jji^ de la for- 

 mule (20) soient nuls, c'est-à-dire, d'après les équations (21) et 

 (2-2), que la somme des résidus de chacun des produits J|/(-S, u^ 

 et J y/(^, ?^) (/ = 1 , 2, . . .,/?) soit nulle séparément. 



Donc, pour cjue l'intégrale abélienne I = / R(^, u) dz se ré- 

 duise à une fonction rationnelle de z et de u, il faut et il suffit : 



1° Que tous les résidus de la fonction rationnelle R(^, u) 

 soient nuls; 



2" Que la somme des résidus du produit I'^(::, ;^), oii 



hh(z, u) dz est une intégrale quelconque de première espèce^ 

 soit /lui le; 



3"^ Que la somme des résidus de chacun des produits lyi{z^ u) 

 soit nulle, yj (z, u), . . ., y^p{Zj u) ayant le même sens que plus 

 haut. 



Nous ferons remarquer de nouveau que les conditions trouvées 

 sont toutes algébriques. Si la première condition seule est satis- 

 faite, l'intégrale 1 ne contient aucune intégrale de troisième es- 

 pèce. Si les deux premières conditions seules sont satisfaites, l'inté- 

 grale I est égale à une fonction rationnelle de ^ et de u, augmentée 

 d'une intégrale de première espèce. Remarquons enfin qu'au lieu 

 de prendre pour '/j{z, u), .... '/^p(z, u) les dérivées de p inté- 

 grales de seconde espèce n'ajant qu'un pôle du premier ordre, on 

 pourrait prendre les dérivées de p intégrales quelconques de se- 

 conde espèce, formant avec (ip^ . . ., Wp un système fondamental. 



159. Les deux dernières conditions peuvent être mises sous 

 une autre forme. De l'identité 



d(lwi) = I<hi{z., u)dz -h iriR{z, u)dz., 

 on déduit 



/ I <h/(z, II) dz =— wi l\(z, u) dz, 



