INTÉGRALES NORMALES. 35l 



chacune des intégrales étant prise le long du contour total de T'. 

 Or la première intégrale est égale, à un facteur près, à la somme 

 des résidus de I'}i(^, u), et la seconde est égale, au même fac- 

 teur près, à la somme des résidus de (V/R(z, u). La deuxième 

 condition peut donc être remplacée par la suivante : La somme 

 des résidus de w R(:?, if) sur toute la surface doit être nullej 

 w étant une intégrale quelconque de première espèce. 



On voit de même que la dernière condition peut être énoncée 

 comme il suit : La somme des résidus de chacun des p produits 

 ^/R(;, u) doit être nulle {^). 



On trouverait immédiatement ces conditions par une méthode 

 un peu différente en écrivant que toutes les périodes de l'intégrale 



I ^{z, u)dz sont nulles. Il suffît, pour cela, d'appliquer le théo- 

 rème de Cauchy aux 2/? intégrales 



jw^'\z, u)R(z, u)dz. I Z{z., u;ai,bi)R{z., u)dz, (l = 1,2, ...,p)r 



prises le long du contour total de T', en se servant de l'expression 

 de ces intégrales au mojen des périodes (n° 60). 



160. Prenons comme exemple les courbes algébriques telles 

 que l'aire limitée par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe 

 compris entre les deux extrémités de ces rayons soit une fonction 

 algébrique des coordonnées des deux extrémités. Cette aire est 

 représentée par l'intégrale 



;/•■ 



z du. 



le on a / u dz = uz — z du, le problème revient à re- 

 chercher les relations algébriques 



(•23) F{z,i() = o, 



telles que l'intégrale f u dz soit elle-même une fonction algébrique 



(•) HuMBERT, Acta Mathematica, t. X, p. 391. On pourra consulter aussi sur 

 ce sujet : Liouville , divers Mémoires dans le Journal de Mathématiques; 

 Zeuthen, Comptes rendus, 1880; Raffy, Thèse de Doctorat, i883. 



