352 CHAPITRE Vil. 



de jz. Bornons-nous au cas où la courbe (23), de degré m, a m 

 points distincts à l'infini ; on peut prendre les axes de telle façon 

 qu'aucune des m asjmptotes ne soit parallèle à l'axe des u. Soit 



u = CiZ H- di-+- -^ -\ T + • • • 



-»> JZ 



Téquation qui représente une branche infinie asymptote à la droite 

 H = CiZ -\- di; tous les coefficients tels que a[^^ doivent être nuls. 

 Géométriquement, cela signifie que le point à l'infini dans la di- 

 rection précédente est un point d'inflexion. En effet, effectuons la 

 transformation homographique 



u 

 11^=—- 



z 



à la branche infinie correspond une branche de courbe issue du 

 point z' = o, a' = ci, 



u' = Ci-T- diZ'-\- a[-^^^'2_^ 3c[.2'^'3_|_ 



Si aj'^nno, on voit que la tangente lé =z Ci-\- diz' rencontre la 

 courbe en trois points confondus. 



Lorsque la courbe considérée est du genre zéro, ces conditions 

 sont suffisantes. Donc, pour que l'aire d'une courbe unicursale 

 de degré m^ qui a ni points simples à r infini, soit algébrique, 

 il faut et il suffit que les m points à V infini soient des points 

 d'inflexion (^). 



Si la courbe est de genre/? > o, il faudra, en outre, que ip con- 

 ditions nouvelles soient remplies. Prenons, par exemple, une cu- 

 bique avec trois points d'inflexion à l'infini; si l'on prend pour 

 axes de coordonnées deux des asymptotes, l'équation de cette cu- 

 bique est de la forme 



uz{u — az — b) — k-— o. 

 On en tire 



_ az -{-b \/zHaz -4- by^-h \k^z 

 Il — -\- — , 



'2 -IZ 



r , «52 bz 1 r^z^az^by-^ik^'Z , 



udz = — i h- - / ^ ^- ^ dz. 



J \ 1 1 J z 



(*) ArrELL et E. Picard, Thèses de Doctorat. 



