INTÉGRALES NORMALES. 353 



Si le polynôme sous le radical a une racine double, la courbe 

 est unicursale, et, d'après ce qui précède, l'intégrale doit être al- 

 gébrique, ce qu'il est facile de vérifier. Dans tout autre cas, l'inté- 

 grale 



n'est pas algébrique. En effet, considérons la relation auxiliaire 

 ?/-= R(^) et les deux intégrales 



r dz r dz 



de première et de seconde espèce, attachées à cette relation, 



D'après la théorie Sfénérale, la somme des résidus de ï et de 



— _ devrait être nulle. Formons cette somme pour le second 



zs/^^^T) . ,. . 



produit. Les points à l'infini sont des pôles du second ordre pour I, 

 et l'on a, dans le domaine de chacun de ces points, 



z^ , 2A-2 I 



> a z 



z^B.{z) z^\a a'^ z ' "' J' 



les signes ±. se correspondant dans les deux formules. La somme 

 des résidus pour les points à l'infini est donc égale à — i. Dans 

 le domaine de l'origine, on a 



/- ^2 3 



le résidu du produit est donc égal à 4- Pour toute aulre valeur de 

 3, le résidu est nul. Par suite, l'intégrale 



/ 



s/zHaz^bY-^ Xk-'z ^_ 



ne peut être algébrique, lorsque lepolvnome sous le radical n'ad- 

 met que des racines simples. 



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