354 CHAPITRE VII. 



161. Le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de a est 

 une intégrale abélienne qui ne possède que des points critiques 

 logarithmiques (n" 48). Cette remarque nous conduit à nous poser 

 la question suivante : 



Étant donnée une intégrale abélienne 1= /R(^, u)dz^ qui 

 n^admet que des points critiques logarithmiques, comment 

 peut-on reconnaître si elle s exprime par une somme de loga- 

 rithmes de fonctions rationnelles de z et de u et d'une inté- 

 grale de première espèce ? 



Soient (a,, h,), {a., b.), ..., {ctg, bq)\es points critiques lo- 

 garithmiques, R<, Ro, .-., i^q les résidus correspondants de 

 R(^, w), qui vérifient la relation 



(^4) Ri-i- R2 -I-. • ■+ R^ = o. 



Supposons que l'intégrale considérée s'exprime de la façon in- 

 diquée, c'est-à-dire que l'on ait 



(25) I = f^{^, ii)dz = (Mi\ogOi +W2logcp2 -+-...+ w;. logcp,. -f-w(^, u), 



cOi, W2, ..., (-Or étant des constantes, cp,, Oo, ..., cp;. des fonctions 

 rationnelles de z et de u, et iv{z, u) une intégrale de première 

 espèce. On peut toujours admettre qu'il n'existe entre les con- 

 stantes (Oi, coo, ..., w^ aucune relation linéaire et homogène à 

 coefficients entiers; si, en effet, il existait une pareille relation, 



7711 Wi -T- ;?Z2W2-1- . . .-f- Jn,.Oir = o, 



où l'un au moins des coefficients, m,-, par exemple, est différent de 

 zéro, on en tirerait 



mj Wl + 7?l2(02 -h. . .H- /«/•-! W/.-i 



OJ,. = > 



m,. 



et l'expression (20) pourrait s'écrire 



La nouvelle formule contient un logarithme de moins que la 



