INTÉGRALES NORMALES. 355 



précédente. Si donc on suppose qu'on a réduit, de cette façon, 

 autant que possible le nombre des logarithmes, il ne peut exister 

 entre les constantes w, aucune relation de la forme indiquée ; c'est 

 ce que nous admettrons désormais. 



Gela posé, les zéros et les infinis des r fonctions cp,, cp,, ..., cp,- 

 font nécessairement partie des q points (a,, b^ ), ..., (a^,, bq). Si, 

 en effet, un autre point (a, 3) était un pôle ou un zéro de quel- 

 ques-unes de ces fonctions, dans le domaine de ce point, le second 

 membre de la formule (20) serait infini comme 



(micoi -i-. . .-f- m,.oir) log(^ — ce), 



m^ mo ryir étant des nombres entiers dont l'un au moins 



n'est pas nul. Or l'intégrale I est régulière au point (a, P); il fau- 

 drait donc que Ton eût 7?z, w, -f-. . .-1- nir^r — o, contrairement à 

 l'hypothèse qui vient d'être faite. Soit mu un nombre entier, égal 

 à zéro si le point («/, bi) n'est ni un pôle ni un zéro de 9a(^, w), 

 éo-al à 4-/1 si le point (a/, bi) est un zéro d'ordre n de cp^, et à 



ji' si (rt/, bi) est un pôle d'ordre n' de cpA. Dans le domaine du 



point (<7/, 6/), le second membre de la formule (20) est de la 

 forme 



p/ - _ ai) désignant une fonction régulière. On a donc entre les 

 résidus R,, R2, •••, R? et les constantes co,, w., ..., tO;- les q re- 

 lations 



(26) ^i — nmoii^ TlliUMi-r-.. .^ niri^r (î = ï , 2, . . . , q), 



où tous les coefficients m^i sont des nombres entiers. 



16^. Nous voyons que les q résidus R, , R,, . . ., R^ s'expriment 

 par des fonctions linéaires à coefficients entiers des r quantités 

 w,, (1)2, . . ., ^r- 11 n'en résulte pas qu'elles ne puissent s'exprimer 

 de la même façon au moyen de moins de /• quantités, et nous 

 sommes conduits à traiter d'abord la question suivante : 



Étant données q quantités quelconques R,, Rj, •••, R^, 

 réelles ou imaginaires, les exprimer par des fonctions li- 

 néaires et homogènes à coefficients entiers du plus petit 

 nombre possible de quantités. 



