356 GHAPITRK VII. 



Supposons le problème résolu et soient 



\ F! 



R, 



^12^1 



^q = 'llq'^l 



Si 

 . . . . , 



les formules qui donnent une solution du problème, les nombres 

 Hiff étant tous entiers. D'après la relation (24), le nombre s est au 

 plus égal kq — i ; il est clair aussi qu'il est au plus égal à j\ mais 

 il peut lui être inférieur. Nous allons montrer qu'on peut toujours 

 ramener les /' logarithmes de la formule (20) à s logarithmes 

 seulement (^). 



Par hypothèse, il n'existe aucune relation linéaire et homogène 

 à coefficients entiers entre a-,, o-o, ..., as. De plus, tous les dé- 

 terminants d'ordre s que l'on déduit du tableau 



^12 



nu 



^22 



n^r 



rigi 



en prenant s lignes ne peuvent être nuls à la fois. En effet, 

 supposons, pour plus de généralité, que tous les déterminants 

 d'ordre supérieur à s'(s'<Cs), déduits du tableau précédent en 

 supprimant un certain nombre de lignes et de colonnes, soient 

 nuls et que l'un au moins des déterminants d'ordre s', par exemple 



nu 



ris'i 



soit différent de zéro. Chacun des déterminants d'ordre s' 

 tel que 



(') E. Coursât, Comptes rendus, t. CXVIII, 5 mars 1894. 



