INTÉGRALES NORMALES. 35() 



Les fonctions rationnelles '^j^,, ..., ...,6rse réduisent à des con- 

 stantes. En effet, ^s+h n'admet pour pôles et pour zéros que quel- 

 ques-uns des points («,, ^,), ..., («y, bq). Dans le domaine du 

 point (ai, bi) elle contient en facteur une certaine puissance de 

 (z — ai) dont l'exposant est, d'après la signification des nom- 

 bres niffi, 



c'est-à-dire zéro, d'après la formule (29). Le point (rt/,6/) n'est 

 donc ni un pôle ni un zéro pour 'i^^+yi ; cette fonction, n'admettant 

 ni pôles ni zéros, se réduit forcément à une constante, et, par 

 suite, l'intégrale T ne contient que s logarithmes, comme nous 

 l'avions annoncé, 



(3i) 1= ^log6,-t-...4-~Mog^,-H«^(^,zO- 



Pour déterminer les fonctions à^, . . . , t!;^, cherchons les ordres 

 des pôles et des zéros de •^,, par exemple; ces points font partie 

 des q points (a, ,b\).., (ciq^ bq). Dans le domaine du point (a/, bi), 

 log'v, est infini comme 



( niu ai 1 -^ . . . -^ nisi ii^y ) log( - — «/), 



c'est-à-dire, d'après les formules (3i), comme A/?,/log(:: — «/). 

 Les nombres n^i sont supposés connus; si l'on connaissait A, on 

 voit que les pôles et les zéros de 6,, , . . ,'ls seraient connus, avec 

 leurs ordres de multiplicité respectifs. C'est l'indétermination de 

 ce nombre entier A qui fait la difficulté de la seconde partie du 

 problème. 



163. En résumé, la question que nous nous sommes proposée 

 comprend deux problèmes distincts. Si l'on veut chercher le 

 nombre minimum de logarithmes auquel une intégrale abélienne 

 peut se réduire, en supposant cette réduction possible, il faut 

 chercher le plus petit nombre possible de quantités au moyen des- 

 quelles les résidus R, , . . . , R^ peuvent s'exprimer par des fonc- 

 tions linéaires et homogènes à coefficients entiers. Si ce nombre 

 est égal à 5, le nombre minimum des logarithmes est aussi égal 

 à 5; on remarquera que ce nombre ne dépend que des résidus. 



