36o CHAPITRE VII. 



Cette première question étant supposée résolue, on a ensuite à 

 résoudre un ou plusieurs problèmes du type suivant : 



Étant donnés sur une surface de Rlemann q points 



et q nombres entiers /i,, n^, . . ., nq, dont la somme est nulle, 

 existe-t-il une fonction rationnelle oi^z^u) et un nombre en- 

 tier M, tels que logcp(^, u) soit régulier en tous les points 

 de la surface de Riemann, sauf aux points {a^,bC)^ ..., 

 [aq^ bg), et soit infini comme M/z^ log(^ — a/), dans le domaine 

 du point [aiy bi)l 



Si le nombre M était connu, le problème reviendrait évidem- 

 ment à reconnaître s'il existe une fonction rationnelle cp(^, w), 

 admettant des pôles et des zéros donnés, avec des degrés de mul- 

 tiplicité déterminés, problème dont on s'occupera plus loin et qui 

 n'offre que des difficultés algébriques. Mais, aussi loin que l'on 

 aille dans la série des essais en faisant successivement M=i , 2,3,..., 

 sans jamais réussir, on ne peut affirmer, du moins dans le cas 

 général, que le problème est impossible. Pour prendre un exemple 

 simple, supposons/) = i, et supposons de plus qu'il n'y ait que 

 quatre points critiques («4,6,), («2? ^2)? (<^37 ^3)? (<^.'o ^'. )? et 

 enfin que l'on ait n^=i /io = i, az3= 714 = — i. Tout revient à trou- 

 ver s'il existe une fonction rationnelle de ^ et de w admettant les 

 seuls zéros [a^^ 6,), (ao, ^2) et les seuls pôles («3, 63), (a/,, b;^)^ 

 chacun au degré M de multiplicité, M étant un nombre entier 

 indéterminé. Soit w[z-^u) l'intégrale de première espèce ; pour 

 que la fonction cherchée existe, il faut et il suffit, d'après le théo- 

 rème d'Abel, qui sera étudié en détail dans un des Chapitres sui- 

 vants, que l'on ait 



M[w{ax, bi)-^- iv{a2j ^2)]= M[w{a^, 63)+ (^(«4, bi,)], 



le signe ^ indiquant l'égalité à une période près. Il faut donc 

 que la différence 



w(ai, bi)-\- w{a2, b^) — ^(«3, ^3)— <^(«4, ^4) 



soit commensurable avec une période de «^(s, u). Le problème 



