INTÉGRALES NORMALES. 36l 



en question est donc de même nature que celui-ci : Etant donnés 

 deux nombres que l'on peut calculer avec une approximation in- 

 définie, reconnaître si leur rapport est commensurable. Aussi 

 loin que l'on pousse les opérations, il n'est jamais permis de con- 

 clure négativement, par cette seule considération. Pour plus de 

 détails sur ce sujet, nous renverrons le lecteur aux dernières pages 

 du Tome II du Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, où 

 l'éminent géomètre fait ressortir très nettement la difficulté du 

 problème. 



16i. Comme application de la théorie précédente, reprenons 

 le problème suivant traité par Abel : 



/o dz 

 ^^-^ y OÙ G (?^ R 



sont deux polynômes entiers en z^ R étant premier avec sa dé- 

 rivée, qui s'expriment par une somme d'un nombre fini de 

 logarithmes de fonctions rationnelles de z et de u. 



L'intégrale / —^ ne doit posséder, comme singularités, que 



des points critiques logarithmiques. Or cette intégrale est régu- 

 lière pour toute valeur finie de ^ ; si R est de degré impair, le dé- 

 veloppement de ~= dans le domaine du point de ramification à 



rinfini ne contient que des puissances fractionnaires de z^ et, par 

 suite, le point à l'infini ne peut être un point critique logarith- 

 mique pour l'intégrale. Il faut donc que R soit de degré pair ip-\-Q . 

 La surface de Riemann présente alors deux points distincts à l'in- 

 fini; dans le domaine de chacun d'eux, l'intégrale doit être égale 

 à un terme logarithmique, augmentée d'une fonction régulière, 

 ce qui exige que p soit de degré p. Si ces deux conditions sont 

 remplies, les deux résidus R|, Ro sont égaux et de signes con- 

 traires; le nombre s est égal à l'unité. Par suite, lorscpt'une inté- 

 grale delà forme j ^-^ est exprimable par logarithmes, elle 



s'exprime au moyen d^un seul logarithme. 



Soit 





