362 CHAPITRE VII. 



A désignant une constante et P, Q, S étant trois polynômes, la 

 formule qui donne la valeur de cette intégrale. A chaque valeur 

 de z correspondent pour le logarithme deux valeurs 



log -^^-^— , log- ^^, 



dont les dérivées — ^—= et L ont une somme nulle. La somme 



A v/H a v/R 



de ces deux logarithmes et, par suite, le produit 



+ Qv/r\/p-Qv/k 



S J\ S 

 doit donc se réduire à une constante K 



p2_RQ2^KS2; 



on peut alors écrire 



K 



ou encore 



, p + Q/R I I /p + q/rX 

 log ^i-L— = -logK-f- -log ^^~= • 



Employant les notations d'Abel, on voit que, si l'intégrale considérée 

 est exprimable par logarithmes, elle a une expression de la forme 



(32) / '-=- = Alog 



J v/R ^Va-?/R 



a et P étant deux polynômes. On peut évidemment supposer a 

 et ^ premiers entre eux; on peut aussi supposer a premier avecR. 

 En effet, si a et R ont un plus grand commun diviseur N, on a 



a = aiN, R=RiN, 



a, étant premier avec R,; nous pouvons écrire 



a-4-Pv/R _ ai y/N H- ^ y/RJ 

 a-P /R ~ «ly/ÎV — pv^ï^' 

 ^ / ai y/N H- ^ /rT X ^ i ^^^ / af N + ^^ Ri H- 2 a^ ^ /r " 



2 ^Va'-pVl^ 



