INTÉGRALES NORMALES. 363 



expression de même forme que la première, où 



Les deux polynômes oJ et R sont premiers entre eux ; en effet, R, est 

 premier avec N et avec a,, N est premier avec Ri et avec ^, car il 

 divise a, et a et [^ sont supposés premiers entre eux. 



Cela étant, si la fonction rationnelle ^-^ satisfait à la rela- 



tion (32), elle a un seul pôle et un seul zéro, tous les deux reje- 

 tés à l'infini; autrement, le logarithme aurait des points critiques 

 logarithmiques à distance finie. Le produit 



ne peut s'annuler pour aucune valeur finie de ^; en effet, une ra- 

 cine ; ^ a de cette équation ne peut annuler à la fois les deux 

 facteurs a H- ^ v'R, a — ^ ^/R, car elle annulerait la somme 2 a et 

 la différence 2 ^ v^R, et nous avons vu qu'on peut supposer a pre- 

 mier avec ^R. Il faut donc que a- — [^-R se réduise à une con- 

 stante et, comme il est permis de multiplier a et [3 par un même 

 facteur constant, on peut supposer cette constante égale à l'unité; 

 par conséquent, les trois polynômes a, ^ e^ R doivent vérifier la 

 relation 



(33) a5— ^•2R = i. 



Inversement, si trois polynômes a, ^3, R donnent lieu à l'iden- 

 tité (33), on en déduit une solution du problème proposé. Il est 

 clair d'abord que R est de degré pair 2^ -i- 2 et que a est premier 

 avec pR; on peut supposer aussi que R est premier avec sa déri- 

 vée; s'il contenait un facteur multiple tel que (^ — ^o)'^? on pour- 

 rait faire passer (^ — ^0)^' dans [3 ; s'il était divisible par {z — ;:o)"^"^' 1 

 on multiplierait ^ par {z — ^0)^ et il ne resterait dans R que (;: — ^o)- 

 Gela posé, la fonction rationnelle de z et de y/R, 



a -f- |B v/R 



a — P/R 

 n'admet, d'après la relation (33), ni pôles ni zéros à distance finie 



