364 CHAPITRE VII. 



elle admet un seul pôle et un zéro, tous les deux rejetés à l'infini. 

 La dérivée logarithmique est donc égale, à un facteur numérique 

 près, à une intégrale de troisième espèce avec deux points cri- 

 tiques logarithmiques à l'infini, c'est-à-dire qu'on a une relation 

 de la forme 



/ 



= log ' ^ ^ 



y/R V«-^v/îï 



p étant un polynôme de degré p. 



Pour résoudre de la façon la plus générale l'équation indéter- 

 minée (33), on peut se donner arbitrairement le polynôme a. La 

 théorie des racines égales permet alors de mettre le polynôme 

 a^ — I sous la forme p^R, R étant premier avec sa dérivée, par 

 des opérations algébriques élémentaires. Par exemple, si l'on a 



«2-i = XiXlXlX|, 



les polynômes X^ n'ayant aucun facteur multiple, ni aucun facteur 

 commun, on prendra R = Xi X3, p^XoXgX^. La valeur de p 

 se calcule ensuite sans difficulté; on trouve 



p = aSR'-i-2(a3'— a'^)R. 



Abel s'est proposé aussi la question suivante, qui est en quelque 

 sorte l'inverse de la précédente : 



Etant donné un polynôme R, premier avec sa dérivée, de 

 degré pair ip -^ i, reconnaître si Von peut trouver un autre 



polynôme p tel que r intégrale 1 ~^ s'exprime par un loga- 



J V l"^ 

 rithme. 



Ce problème est, d'après ce qui précède, équivalent à celui-ci : 

 Peut-on trouver deux polynômes a et p, satisfaisant à la 

 relation (33) ? 



Si l'on connaissait a priori le degré de l'un de ces polynômes, 

 on pourrait toujours, par la méthode des coefficients indétermi- 

 nés, reconnaître si le problème admet ou non une solution. Mais, 

 ici encore, on voit s'introduire un nombre entier indéterminé. 

 Abel a rattaché la solution de ce problème à la théorie des frac- 

 tions continues algébriques; il est arrivé à la proposition suivante, 



