INTÉGRALES NORMALES. 365 



pour la démonstraiion de laquelle nous renverrons à son Mé- 

 moire : Pour qii'il existe un polynôme p répondant à laques- 

 tion, il faut et il suffit que le développement de \jK en fraction 

 continue algébrique soit périodique. 



Lorsque le polynôme R(5) est du quatrième degré, p doit être 

 du premier degré. Dans ce cas spécial, le problème a été étudié 

 depuis par M. Tchebjchefr(^) et par M. Zolotareff (-), lorsque 

 les coefficients de R(3) sont commensurables ou sont des nombres 

 entiers complexes. Ces deux méthodes supposent que Ton con- 

 naît les racines de B.(^) ; elles permettent de reconnaître, au bout 

 d^ un nombre fini d^ opérations, R(:;) = ^'' +«^^ + bz'--^cz-\-d 

 étant donné, s'il existe une constante A telle que Ton ait 



/' 



Il faut, pour cela, qu'il existe une fonction rationnelle de z et 

 de y/R(^) ayant un seul pôle et un seul zéro, tous les deux à l'in- 

 fini; pour que ce problème admette une solution, il faut et il 

 suffit, d'après le théorème cité à la fin du n'^ 163, que la difTé- 

 rence des valeurs de Tintégrale de première espèce aux deux 

 points à l'infini soit commensurable avec une période. Tout re- 

 vient donc à reconnaître si cette dififérence est de la forme 



où m, m', n sont des nombres entiers, et a\ to' les périodes de 

 l'intégrale de première espèce. 



Kio. On a vu (n" loi) qu'une somme d'un nombre quelconque 

 d'intégrales de première et de deuxième espèce se ramène tou- 

 jours à ip intégrales distinctes et à un terme algébrique. Il 

 n'existe point de proposition aussi simple pour les intégrales de 

 troisième espèce; le théorème suivant offre cependant une cer- 

 taine analogie avec le théorème qui vient d'être rappelé : 



Etant donnée la somme d'un nombre quelconque d'inté- 



(') Journal de Liouville; 1884. 



(^) Voir Bulletin des Sciences mathématiques, 1879; P- 47^-478. 



