366 CHAPITRE VII. 



grales de troisième espèce, multipliées par des facteurs dont 

 les rapports sont commensurables , on peut exprimer cette 

 somme au moyen du logarithme d^une fonction rationnelle 

 de z et de u, et de p intégrales de troisième espèce, V un des 

 points critiques de chacune de ces intégrales de troisième es- 

 pèce pouvant être choisi arbitrairement. 



Soit 1=^ I R{z^ u) dz une intégrale n'admettant que des points 



critiques logarithmiques, et telle que tous les résidus deR(^, u) 

 soient commensurables entre eax. En multipliant R(^, u) par un 

 facteur constant convenable, on peut supposer, ce que nous 

 ferons désormais, que tous ces résidus sont des nombres entiers. 

 Soient («1, 6i), ..., (rt^, bq) les points critiques pour lesquels 

 les résidus m^ , mo, ..., m^ sont des nombres entiers positifs, 

 (a,, î^i). ..., (a^, [^^) les points critiques pour lesquels les résidus 

 sont des nombres entiers négatifs, — n^^ — /Zo, . . ., — n,- Pour 

 ne pas interrompre la suite des idées, admettons le théorème sui- 

 vant, qui sera démontré un peu plus loin, sans rien emprunter à 

 cette théorie : il existe une fonction rationnelle de z et de u qui 

 admet les points (a/, bt) pour zéros d'ordre /?z,, . . ., nig respecti- 

 vement, les points (a^-, p^) pour pôles d'ordre n^^ . .., nr-, et qui 

 est en outre infinie du premier ordre en/? points (ci, d^), ..., 

 {Cp^ dp)^ que l'on peut choisir arbitrairement. Soit <ï>(^, u) cette 

 fonction rationnelle, qui admet, en outre, p zéros distincts des 

 premiers (c', , d\)^ . . ., (c' , d' ). La différence 



log<ï>(^, u) — / K{z, u) dz 



admet donc les seuls points critiques logarithmiques (c/, di)^ 

 (c^, d'i) avec les multiplicateurs -\- i et — i respectivement; elle 

 est donc égale à une somme de p intégrales de troisième espèce, 



telles que nr'^'' *(i=ri, 2, ..., /?)^ ce qui établit la proposition. 

 Pour prendre un exemple, considérons la relation de genre un 



l'équation Z = o n'ajant que des racines simples, et l'intégrale 



