INTÉGRALES NORMALES. 867 



elliptique 



r hdz 



J v^Z 



ou 



(35) L=-/iv/Ao^-- -^— ^ H ^- +...-+- — ^ + K; 



/?, «,, ..., Urj sont des nombres entiers positifs ou négatifs, 

 «,, ..., Œq sont distincts des racines de Z = o, enfin on a 

 6^? = Ao<7^- -H. . . + A/,. L'intégrale I n'admet que des points cri- 

 tiques logarithmiques (a^-, bi)^ {at^ — bi) et les deux points à 

 l'infini, les multiplicateurs étant précisément ifc /?/, àz n (n°^ 35 

 et 36). On peut donc lui appliquer le théorème précédent. L'in- 

 tégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points 

 critiques ( c, û?), (</, d') est (n° 37) 





u A- d u-^ d , 1 7 

 ~ — -h k I dz. 



z — c z — c 



Si l'on choisit convenablement la constante A" et les deux points 



(c, <:/), (c', d')^ on aura 



r t rf. _, r J- (_»^i' _ !i±^ + /-■) rf. = iog<i.(., u) 



J u J iu\z — c z — c ] 



dz = 2log*(5, ^0+ loge- — c)— log(^ — c') 



ou 



2L + T 



/ 



= log[ 



en posant 



(36) 



On peut donc énoncer le théorème suivant : 



Étant donnée une fonction ratioîinelle L de la forme (35), 

 on peut toujours trouver une fonction T de la forme (36), 



T I 'T' 



telle que ^-^- — soit la dérivée logarithmique d' une fonction 

 rationnelle de z et de u {^ ). 



C) Halphen, Traité des fonctions elliptiques, t. II, p. 638. 



